難問に対する対処法

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試験本番や模試に関して色々と心配になる要素って多いですよね。例えば、計算ミスとか、マークミスとか、解答の写し間違いとか、あげればキリがないかと思います。その中でも今回は、試験中に出会うであろう難問に対してどうしたら良いかについてお話ししようかと思います。

基本

まず基本的に、難問になってくるといわゆる合否に関係ないレベルの問題も含まれてきます。もちろん入試は標準問題を取りこぼさないことが1番大切ですが、数学で稼ぎたいとか医学部だから難問もある程度取らないといけないとか、そういう人も多いかと思います。そういう時はどう対策したらいいのか、それが今回のテーマです。

アプローチ

1つ目のアプローチとしては、このレベルになってもある程度パターンやよく問われることがあるのでやや難クラスの有名問題に積極的に取り組むことです。これはやるかサボるかの問題ですね。2つ目のアプローチとしては、思考力を鍛えることです。(詳しくわ武田塾豊田校のブログ「思考力を鍛えよう!」をご覧ください)。

他には?

他にはどんなアプローチがあるでしょうか?今回提唱したいことの1つは、別解を考えることです。問題を作る側としては使えるネタが限られているので、どうしても見かけは違っても本質は同じみたいな問題があるわけです。これは難しい問題にも当てはまることです。ではどうしたらその根本にあるネタに気付くことができるのか、その方法の1つが別解を考えることな訳です。というのも、別解を考えることにより問題を多角的に見えることになりその問題の本質に気付きやすくなりますし、同時に思考力を鍛えるトレーニングにもなるからです。さらに良いことに、新しいアイディアが出てくるかもしれませんね。新たな思考法を思い付くことはとても嬉しいです(このためにお勉強してるといっても過言ではないですよね)。2つ目におススメしたいアプローチとしては、問題を自分で作ってしまうことです。当たり前ですが、問題を作るにはよくその科目のことを考えて理解していないといけません。問題を解くこと以上に問題を作るのは難しいわけですよ。実際に、問題を作るときには必ず出題者が解く側に対して問いたいネタがあるわけです。そのネタが簡単なものだとしても問題として成立させるためにはそのネタに気付きにくいようにカモフラージュして出題するわけです。そのカモフラージュをかいくぐって本質にたどり着く、これができればどんな問題も大したことはしていないことに気づくでしょう。難問をうまくとき切れる人はこれが上手なわけですね。

 

ではさっそくそれがみなさんがうまくできるかどうか試してみましょう。1つ問題を紹介しますのでチャレンジしてみてください。難しそうだからすぐ答えをみる、なんてことをしていてはいつまでたっても本物の実力はつきません。どんな問題がきてもたじろがない圧倒的な実力をつける唯一の方法はひたすら難問にぶち当たることです。

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問題

次の条件を満たす凸1990角形の存在を示せ。

(A)全ての内角は等しい

(B)多角形の辺の長さは1^2、2^2、・・・、1990^2の適当な並べ替えである。

(参考URLhttps://www.imo-official.org/problems.aspx)

解答

α=cos2π/1990+isin2π/1990とおく(i=√-1)。多角形の辺をベクトルに対応させるとα^kとα^(k+1)のなす角は(k=1、2、・・・、1990)全て等しいので、n(1)、n(2)、・・・、n(1990)を1^2、2^2、・・・、1990^2のうまい並べ替えとすると、問題は次のように言い換えられる。n(1)×α+n(2)×α^2+・・・+n(1990)×α^1990=0となる並べ替えを見つけよ。まず、((2k-1)^2、(2k)^2) (k=1、2、・・、995)となる2つの数をペアにして重みをつけると、問題はさらに次のように言い換えられる。α^2=βとして、m(1)、m(2)、・・・、m(995)を4k-1(k=1、2、・・・、995)の並べ替えとして、m(1)×β+m(2)×β^2+・・・+m(995)×β^995=0を満たすうまい並べ替えをみつけよ。これは以下のようにすれば良い。m(j)=20j-17、m(j+199)=20j-13、m(j+199×2)=20j-5、m(j+199×4)=20j-1 (j=1、2、・・・、199)。実際このとき、1+β^199+β^(199×2)+・・・+β^(199×4)=0、かつ、1+β+β^2+・・・+β^994=0より成立する。以上から題意を満たす例が見つかったので示せた。(終)

結びに

いかがでしたでしょうか。いろいろ申し上げてきましたが、ひとつ重要なことを選べと言われたら以下に尽きます。解けそうにないからすぐ答えをみる、のではなくて、どんな問題にもたじろがない圧倒的な実力をつけるには、見たこともないし何をしてよいかわからない、そんな手も足も出ない難問にとことんぶち当たっていく。これしか本物の実力をつける道はありません。

 

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