思考力を鍛えよう!

豊田校・

豊田周辺の皆様、武田塾生の皆様、こんにちわ!

逆転合格専門の予備校、塾の武田塾豊田校です。

受験生なら誰しも思考力を鍛えたいなあと思ったことがあると思います。では、具体的に言って思考力とは一体なんなのでしょうか。もちろん様々な言い方があるかとは思いますが、自分としては、思考力とは他人が思いつきづらい独創的な発想をする力、と言えます。例えば、物理の問題を解くときに、何を立式したら良いのか思いつきづらい、ということは誰しもあると思います。そのような問題にたいして今までやったことない式を立てる、みたいな感じですね。このような力はもちろん誰しも欲しいかと思います。しかし、簡単に手に入るものだったらだれも欲しがりはしないですよね。つまり、思考力を鍛えるにはそれなりの労力がいるわけです。ではどうしたらこの思考力はレベルアップさせることができるのか。一つは、もちろん知識を増やすことですね。知ってることが多いと新たな発想は生まれやすくなります。もうひとつは、  思考力を問う良問にぶちあたることです。具体的に言うと、発想がとても思いつきづらいがうまいアイデアを思いついてしまえばあとは乱雑な計算や場合分けがあるわけでもなく時間制限のある試験として良心的なものになっている、が一例です。というわけで、今回はそんな問題らに取り組んでいただき皆さんの思考力のレベルアップのトレーニングをしていただきたいと思います。初手が分かりづらいかと思いますが、諦めずにぶち当たってくださいね。

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問題1

次の連立方程式を考える。

y=2x^2-1、z=2y^2-1、x=2z^2-1

この連立方程式は相違なる8個の実数解を持つことを示せ。

(参考URMhttp://server-test.net/math/php.php?name=kyoto&v1=1&v2=1997&v3=2&v4=4&y=1997&n=d)

解答

まずどの文字も絶対値が1以下であることは背理法により容易にわかる。よってx=cosθとおける(-π≦θ≦π)。このとき、y=cos2θ、z=cos4θ、x=cos8θ。つまり、cos8θ=cosθが成立するので8θ=±θ+2mπ (ただしmは整数)の成立が不可避である。つまり、θ=2mπ/7 (m=0、1、2、3)もしくわθ=2nπ/9  (n=1、2、3、4) となり、確かに異なる8個の解がある。(終)

問題2

3×nのマス目がある。(nは正の整数)その各マスに、表と裏の区別があるコインが全て表向きで置かれている。以下の操作1と操作2を好きな順番で繰り返し行うことで得られるコインの配置は何通りあるか。

操作1:1以上3以下の整数iを一つ選び、第i行にあるマス全てのコインを表向きにする。

操作2:1以上n以下の整数jを一つ選び、第j列にあるマス全てのコインを裏向きにする。

(参考URLhttp://www.imojp.org/challenge/old/jjmo13yq.html)

解答

操作2を三回行いその間とハシに操作1を挟み込むと考える。操作2をどの行で行うかで6通りある。操作2の間とハシは全部で4つあるので、求めるものは重複を含めると6×4^n。しかし、この中には操作2の間に操作1がないときがあるので、重複を数える。まず、操作2の二つの間のうち少なくとも一つに操作1がないとき上の数え方における重複をなくすために2×3^n×2=6×3^n通りを引く。よって、ここまでで6×(4^n-3^n)となるが、この中には操作2の間の両方に操作1がないときがカウントされていないのでそれを足して、答えは 6×4^n-6×3^n+2^n・・・(答)

 

いかがだったでしょうか。いずれも見新しく手の付けどころがわかりにくいかと思います。新しいアイデアが必要な問題は解けるととても楽しいのでこのような問題にはガンガンアタックしていくことをお勧めします。

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皆さんの中には、どうしたらこのような解法に至れるのか、とか、このような問題が解ける人はどこを見ているのか、とか、疑問を持つ人も多いかと思います。そんな時は是非武田塾豊田校にいらしてください。講師がマンツーマンでしっかりと指導させていただきます。皆さんと会える日をお待ち申し上げております。

 

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