東大生を育てたパパ講師が教える マル秘【数学良問解説】パート④

瀬戸校・

武田塾瀬戸校 最高顧問 内垣内先生の「数学良問解説」④

瀬戸市の皆さん お元気ですか? 

「東大生を育てたパパ講師が教える 

東大生の育て方」シリーズでおなじみの

武田塾瀬戸校最高顧問の内垣内です。

 

現役で息子を東大に合格させたノウハウや生活習慣管理術などを中心に、

大学入試の問題解説などもおこなっております!!

 

最近チラシ配りをしていると「会うと幸運になれる博士だ!」

って声をかけられることが多くなってきました!!

 

武田塾がどんどん有名になってきている証拠ですね。

 

この前は「博士に朝会ったら小テストで100点だった」って

うれしそうに言われました(^^)

武田塾瀬戸校に来てくれたらもっと効率よく点数がとれるようになる勉強の秘訣を教えますね!!

名大

武田塾瀬戸校講師 内垣内博士の「数学良問解説」 -その4-  

 前回は、2002年に京大理系で出題された図形問題でしたが、この年に出題された6題の中では 難しい方の問題で、受験生の出来はあまり良くなかったそうです。

京大の入試でも基本問題から難問まで様々な難易度の問題が出題されますが、一昔前のような難 問はあまり見られなくなってきました。

聞くところによると、ちょっと難問を出すと、受験生のほとんどは解答できないため、受験生の出来 が悪かった年の翌年は、全体的に基本的な問題が多くなる傾向があるということです。

簡単な問題が増えてきたということは、標準レベルの問題で合否が決まる可能性はありますが、何 といっても京大理系に確実に合格するレベルの受験生は、発展問題も解ける筈です。

よって京大理系に確実に合格するためには、基本・標準問題を確実に解いていくのと同時に、発 展問題もある程度は解けるようにする必要があります。

 

今回紹介する問題は、前回紹介した2002年の翌年の2003年に出題された良問で、6問の中で 最も合否に影響があると考えられる発展問題です。

早速問題を見てみましょう。  

ではでは問題です!!

nチームがリーグ戦を行う。

 すなわち、各チームは他のすべてのチームとそれぞれ 1回ずつ対戦する。

引き分けはないものとし、勝つ確率はすべて 1/2 で、各回の勝敗 は独立に決まるものとする。

このとき、( n-2 )勝1敗のチームがちょうど2チームである確率を求めよ。

ただし、nは3以上とする。

1LzVP80gqTwbwnpeXWu4tusbXtTF63Kt6TjXz66h

問題を聞いてどうですか??

すぐに解法が浮かびますか?  

 題意のような状況を解析することが必要で、 この能力が問われていることになります。

「解答例」 チームを T₁ ~ Tn で表す。

( n-2 )勝1敗になる2チームの組合せは、nC₂ 通りある。‐‐‐‐‐ ①

先ず、その2チームがT₁ 、T₂ のときを考える。 T₁ 、T₂ の直接対決でT₁ が勝つ場合、‐‐‐‐‐ ② このときT₁は他のどこかのチームに負ける。

どこに負けるかでn-2通りある。‐‐‐‐‐ ③

T₁ がT₃に負けるときを考える。T₂はT₁ に負けるからこれ以上負けられない。

 

よってT₂はT₃に勝つ。するとT₁ ,T₂ ,T₃相互の対戦では1勝1敗になる。

T₁ がT₂に勝ち、T₂がT₃に勝ち、T₃がT₁ に勝つ確率は、( 1 / 2 )³である T₁ 、T₂が共に残りのn-3試合で勝つ確率は、{( 1 / 2 )ⁿ⁻³}² であり、このときT₃が 残りのn-3試合で少なくとも1回負けるときであり、この確率は、1-( 1 / 2 )ⁿ⁻³である。

 

このとき他のチームはT₁ ,T₂に負けるため2敗以上する。 

②においてT₂がT₁ に勝つ場合と、③の他のチームの場合も考えると、求める確率は、 nC₂・( n-2 ) ( 1 / 2 )³{( 1 / 2 )ⁿ⁻³}²{1-( 1 / 2 )ⁿ⁻³}・2 =n (n-1 ) ( n-2 ){(1 / 2 )²ⁿ⁻³-(1 / 2 )³ⁿ⁻⁶}

 

理解できそうでしょうか? 

確率の問題としては難問ではありませんが、

それでも落ち着いて解析 していく力が必要です。

 

詳しくは武田塾瀬戸校に来てくれたら、じっくりと解説いたしますね(^^)

東大生を育てたパパ講師が教える 「良問解説」④はいかがでしたか?

この記事を最後までお読みくださいまして誠にありがとうございました。

このご縁を大切にしていただけたら嬉しいです。

 

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東大合格のノウハウや生活習慣管理術などを中心に、

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