東大生を育てたパパ講師が教える マル秘【数学良問解説】パート②

瀬戸校・

武田塾瀬戸校 最高顧問 内垣内先生の「数学良問解説」-その2-  

皆さん お元気ですか? 

「東大生を育てたパパ講師が教える 東大生の育て方」シリーズでおなじみの

武田塾瀬戸校最高顧問の内垣内です。

現役で息子を東大に合格させたノウハウや生活習慣管理術などを中心に、

大学入試の問題解説などもおこなっております!!

 

前回に引き続き、大学入試で出題された数学問題の内、

特に取り上げるに値する良問につき解説していきたいと思います。

東京大学

 前回は2003年に東大理系で出題された問題でした。

今回は、同じ東大ですが文系で 1991年に出題された次の問題です。

良問解説パート② 1991年度 東京大学 入試問題 文系数学 大問1

問題:関数f(x)=x³-2x²-3x+4の、区間-7/4≦x≦3 での最大値と最小値を求めよ。

 

この問題を見てどう思いましたか?

「何だ、計算するだけで簡単に解けそう!

東大だけど文系だから簡単なのかな?」

と思ったかもしれません。

 

しかし、この問題は、普通に計算して解こうとすると、

計算がとっても大変なことが分かります。

聞くところによると、

東大文系受験生の完全正答率は2%程度だったそうです。

 

それでは一緒に解いてみましょう!

関数f(x)は3次関数なので、f(x)を微分して、この関数の極大、極小を考慮して進めていくと考えやすいはずです。

f(x)=x³-2x²-3x+4

f(x)を微分すると

f'(x)=3x²-4x-3

f'(x)= 0とすると

x=(2±√13)/3

ここで、α=(2-√13)/3,β=(2+√13)/3 とおくと、最大値はf(α)か、区間右端のf(3)かになるので、2つの大小を比べる必要があります。

 

これは、y=f(x)は-7/4<x<α,β<x<3で増加関数、α<x<βで減少関数となり、f(α)が極大値、f(β)が極小値になるからです。

 

ちなみに。。。

増減表を書くと、こんな感じになります。

x -7/4 α β 3
f'(x)   0 0  
f(x)        

 

グラフ3

 

ここで、(α,f(α))を通りx軸に平行な直線を引く。

その直線とy=f(x)とが交わる点の内、x>βの位置で交わる点のx座標をα'とおく。

このときf(x)-f(α)=0が成り立つ。

    f(x)-f(α)=0

⇔ x³-2x²-3x+ 4-( α³-2α²-3α+4) = 0

⇔ x³-2x²-3x-α³+2α²+3α=0 の解は

α、α、α’とおける。

(αが2回あるのは2重解だからです。)

3次方程式の解と係数の関係より

α+α+α'=2 ⇔ 2α+α'=2 であるから、

 

α’= 2-2α

 = 2-2((2-√13)/3)

   = 2-(4-2√13)/3

   = (2+2√13)/3

 

α'-3= {(2+2√13)/3}-3

       = (2√13-7)/3

     =(√52-√49)/3 > 0

 

よって、α<0<3<α'なので、f(α)=f(α')>f(3)より、x=αでf(x)は最大となる。

 

したがって最大値は

f(α)={(α/3)-(2/9)}f'(α)-(26α/9)+(10/3)

      =-(26/9){(2-√13)/3}+10/3

      =(38+26√13)/27

 

ここでどんな計算をしたのか見てみよう。

三次関数の極値を求める計算では、f(x)をf'(x)で割ると楽に計算できるようになることがある。

数式

今回はこの形を用いた。

これにαを代入するとf'(α)=0であることから上記のような計算となった。

この計算過程は複雑な数値を代入するときに威力を発揮するので、ぜひ覚えておこう。

 

また、f(x)-f(β)=0の解のβでない方をβ'とおくと、上述のα'と同様に考えることができる。

3次方程式の解と係数の関係より

β+β+β'=2 ⇔ 2β+β'=2 であるから、

 

β’= 2-2β

 = 2-2((2+√13)/3)

   = 2-(4+2√13)/3

   = (2-2√13)/3

 

β'-(-7/4)= {(2-2√13)/3}-(-7/4)

                = (29-8√13)/12

              = (√841-√832)/12>0

 

よって、-7/4<β'<0<βなので、f(β)=f(β')>f(-7/4)より、x=-7/4でf(x)は最小になる。

 

したがって、最小値は

f(-7/4)=(-7/4)³-2(-7/4)²-3(-7/4)+4

           =(-343/64)-(49/8)+(21/4)+4

     =-143/64

 

解答
解答1

ひらめき

 

内垣内先生のアドバイス 「図を描いて考えよう!」

私はこの問題を図を描かずに頭の中だけで解きましたが

みなさんは図を描いて解いて下さい。

その方がミスなく解けます。

東大入試では文系でも計算の工夫を必要とする問題や計算力が必要な問題が出題されやすいです。

 

しかし、オーソドックスな問題が主流なので、しっかり勉強すれば十分に合格点が取れます。

次回は、京大の入試問題について解説する予定です。楽しみにしていてくださいね。私も期待にこたえられるように気合を入れて記事にとりかかります。

 

東大生を育てたパパ講師が教える 「良問解説」はいかがでしたか?

この記事を最後までお読みくださいまして誠にありがとうございました。

このご縁を大切にしていただけたら嬉しいです。

 

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