東大生を育てた親が教える入試問題良問解説【数学 円周率編】

可児校・

東大生を育てた親が教える入試問題良問解説【数学 円周率編】|武田塾 可児校 

みなさん、こんにちは‼

E判定からの逆転合格

武田塾可児校 最高顧問の内垣内です。

 

私、内垣内が監修する

「東大生を育てたパパ講師が教える

㊙東大生の育て方シリーズ」

今回が第1弾です。

 

現役で息子を東大に合格させたノウハウや生活習慣の管理方法などを中心に指導しておりますが、学習面においては大学入試の問題解説をおこなっております。

今回は、大学入試で出題された数学の問題の中で、特に取り上げるに値するような良問を解説していきたいと思います。

 

東大生を育てたパパ講師が教える入試問題良問解説【数学 円周率編】|武田塾 可児校

 

良問解説パート① 2003年度 東京大学 入試問題 理系数学 大問6

問題:円周率が3.05より大きいことを証明せよ。

東大生を育てたパパ講師が教える入試問題良問解説【数学 円周率編】|武田塾 可児校

 

なぜ最初に、この問題を取り上げたかというと、2003年度は私の息子の大学入試の年で

「お父さん、面白い問題出たよ!!でも僕は工夫して完璧に解けたから安心して!」

と言っていたのが今でも耳に焼き付いているからです。

幸い彼はこの年に現役で東大に合格しました

この問題は、この年に出題された数学入試問題での注目度No.1となりました。

 

さて、皆さんだったらこの問題をどう解きますか? 
東大受験生達は、意外にできが悪かったそうですが

私からすれば、かなり簡単な問題です!!

 

解法へのアプローチ!教えて!内垣内先生

アプローチとして自然に思い浮かぶのは、半径1の円と、

その円に内接する正n角形との比較から証明する方法です。

数学の問題を解く際には、様々な解法を考える必要がありますが、

この問題の場合は、主に2つのアプローチが考えられます。

先ずは、最も多くの受験生が考えた解き方から説明します。

 

内垣内先生の解法へのアプローチ Part1

半径1の円の円周の長さと、正n角形の外周の長さとの比較

半径1の円の円周の長さは、2π。

また、この円に内接する正n角形の1辺の長さをaとおくと、余弦定理より、

a² = 1² + 1² -2・1・1・cos(2π/n)

a² =2-2cos(2π/n)

 

ここで、n=12、すなわち正十二角形のとき

a² = 2-2cos(π/6)= 2-√3…①

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半径1の円の円周は、それに内接する正十二角形の各辺の和(外周)より大きいから、

12a < 2π

6 a <π

両辺を2乗すると

36 a² <π²…②

 

①を②に代入して

36 (2-√3 ) <π²

ここで

1.73 < √3 < 1.74 であり

3.05² = 9.3025 であるから

36 a² = 36 (2-√3 ) > 36 (2-1.74) = 9.36 > 9.3025 = 3.05² …③

 

②と③より、3.05²< π² つまり、3.05 < π

 

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内垣内先生の解法へのアプローチ Part2

半径1の円の面積と、正n角形の面積との比較

 

半径1の円に内接する正n角形の面積Sは円の面積πより小さい。

また、正n角形の一辺を弦とするような弧に対する中心角は、2π/ n である。

 

東大生を育てたパパ講師が教える入試問題良問解説【数学 円周率編】|武田塾 可児校

 

よって、正n角形の面積Sは、

π > S = n・(1/2)・1・1・sin(2π/n) 

   =(n/2)sin(2π/n) …①

 

上式の右辺に計算し易いようなnを代入し

3.05より大きくなるようにすればよい。

 

n= 24とおくと、①式は、

π > 12 sin(π/12)

 = 12 sin{(π/4)-(π/6)}

 = 12 (sin(π/4)cos(π/6)-cos(π/4)sin(π/6))

 = 12((√2/2)・(√3/2) - (√2/2)・(1/2) )

 = 3 (√6 - √2 )

 

ここで、√6 は 2.44より大きく、√2 は 1.42より小さいから、

π > 3 (√6 - √2 ) > 3 (2.44-1.42) = 3.06 > 3.05

よって、円周率πは、3.05 より大きい。

 

どうですか??

全然難しくないでしょ!

 

この2つの解答を見てすんなり理解できなかった人は

数学の基礎が身に付いていない人です。

まずはしっかり基礎を勉強し直しましょう。

次回は、別の良問についてのお話をする予定です。

 

東大生を育てたパパ講師がこっそり教えるシリーズはいかがでしたか?

この記事を最後までお読みくださいまして誠にありがとうございました。

このご縁を大切にしていただけたら嬉しいです。

 

武田塾可児校には現役で息子を東大に合格させたカリスマ講師が在籍し、

東大合格のノウハウや生活習慣の管理方法などを中心に指導しておりますが、学習面においては大学入試の問題解説をおこなっております。

 

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公開日:2019/11/26

最終更新日:2019/11/29

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